Auf den Spuren von Rheticus

• Fluss gegen Bestand: Die rund 300 Einschreibungen sind die Summe von 60 Jahren, also etwa 5 pro Jahr. Die 1.500 EW sind der Stand eines einzigen Jahres. In 60 Jahren lebten aber zwei bis drei Generationen in der Stadt — der passende Nenner wäre also ein Vielfaches.
• Doppelzählungen: Gezählt werden Einschreibungen, nicht Köpfe. Ein Universitätswechsel war damals üblich; wer dreimal inskribierte, steht dreimal in der Statistik.
• Falsche Grundgesamtheit: Infrage kamen nur junge Männer, grob im Alter von 15 bis 20 Jahren — nicht alle 1.500 EW. Zugleich wurden Schüler der berühmten Feldkircher Lateinschule aus dem Umland in den Matrikeln oft als „aus Feldkirch" geführt.

Ehrlich formuliert: rund fünf Universitäts-Einschreibungen pro Jahr aus einer Stadt mit 1.500 EW. Das ist immer noch bemerkenswert — aber es ist eine andere Aussage als „ein Fünftel studierte". Genau dieser Fehler begegnet Schüler:innen heute ständig: Wenn man eine Summe über viele Jahre durch eine Bevölkerung von heute teilt, kommt jede beliebige Schlagzeile heraus.

• Zwei Schularten nebeneinander. Die Lateinschule bereitete auf die Universität vor: Latein, Grammatik, Rhetorik — diesen Weg ging Rheticus. Die deutsche Schule unterrichtete in der Alltagssprache und zielte auf den Beruf: Lesen, Schreiben und vor allem Rechnen für Handel und Handwerk.
• Der Rechenmeister war ein bezahlter Fachlehrer für praktisches Rechnen: Dreisatz, Währungsumrechnung, Maße und Gewichte, Zins, einfache Buchhaltung — gerechnet zunehmend „mit der Feder" in arabischen Ziffern statt auf dem Rechenbrett. Das war Marktwissen und passt genau hierher, an die Marktgasse der Kaufleute.
• Ist ein Rechenbrett ein Abakus? Im weiten Sinn ja, im engeren nein. Der Kugel-Abakus, den wir heute vor Augen haben (chinesischer Suanpan, russische Stschoty), hat aufgefädelte Kugeln auf Stäben. In Mitteleuropa rechnete man dagegen auf den Linien: Waagrechte Linien auf Brett oder Tuch stehen für 1, 10, 100, 1000 — die Zwischenräume für 5, 50, 500. Darauf legt und verschiebt man lose Rechenpfennige, und statt zu addieren tauscht man um: zehn Pfennige auf der Einerlinie gegen einen auf der Zehnerlinie. Beides sind Stellenwert-Rechenhilfen, die Bauform ist verschieden.
• Der Umbruch, den ein Rechenmeister unterrichtete: „Rechnen auf der Linie" mit Pfennigen gegen „Rechnen mit der Feder" in indisch-arabischen Ziffern. Das Brett zeigt jeden Schritt, lässt sich aber nicht aufheben; die Feder hinterlässt einen nachprüfbaren Rechenweg — die Voraussetzung für Buchhaltung, Fernhandel und später für Rheticus’ Rechentafeln.
• Buben und Mädchen. Belegt ist das durch eine Darstellung der Schule von 1553 n. Chr.: eine einklassige Schule, in der beide Geschlechter gemeinsam lesen, schreiben und rechnen lernen (Volaucnik 2013, S. 59). Zur Universität kamen nur Männer — kaufmännisches Rechnen lernten auch Mädchen.
• Zeitlicher Bezug: 1549 n. Chr. ist 35 Jahre nach Rheticus' Geburt (1514 n. Chr.). Die Kleinstadt investiert also in beide Bildungswege — der akademische hatte ihren berühmtesten Sohn hervorgebracht, der praktische hielt die Wirtschaft am Laufen.

• Der Förderer in Feldkirch: Achilles Pirmin Gasser, der Arzt, der nach der Hinrichtung von Rheticus' Vater 1528 n. Chr. dessen Stelle als Stadtarzt übernahm. Er „half Rheticus, seine Studien fortzusetzen, und war ihm eine starke Stütze" (O'Connor & Robertson 1998, MacTutor). Ohne solchen Rückhalt wäre der Sohn eines Hingerichteten kaum an eine Universität gekommen.
• Der Türöffner in Wittenberg: Philipp Melanchthon, Luthers engster Mitarbeiter und Organisator des protestantischen Bildungswesens. Seine Patronage verschaffte Rheticus die Stelle für Mathematik und Astronomie (MacTutor; Wikipedia, Georg Joachim Rheticus).
• Was ist Wittenberg? Universitätsstadt in Sachsen, rund 600 km von Feldkirch entfernt. Die Universität von 1502 n. Chr. war ab 1517 n. Chr. das Zentrum der Reformation — und Melanchthon förderte dort ausgerechnet Mathematik und Astronomie.
• Empfehlung statt Bewerbung: Aufnahmeverfahren, wie wir sie kennen, gab es nicht. Wer weiterkam, brauchte jemanden, der für ihn bürgte — ein Schreiben an einen Professor, dazu oft Kost, Logis und Studiengeld.
• Die Reihenfolge, damit nichts durcheinandergerät: 1514 n. Chr. Geburt · 1528 n. Chr. Hinrichtung des Vaters · 1528–1531 n. Chr. Schule in Zürich · 1533 n. Chr. Immatrikulation in Wittenberg · 1536 n. Chr. Magister und Lehrauftrag · Oktober 1538 n. Chr. Aufbruch zu Kopernikus, ab Mai 1539 n. Chr. in Frauenburg (MacTutor). Der Brief an den Feldkircher Stadtammann fällt erst in die Zeit danach — Rheticus schreibt als etablierter Gelehrter in die Heimat zurück, nicht als Bittsteller.
• Ehrlich zur Quellenlage: Dass ausgerechnet Gasser die Empfehlung nach Wittenberg ausgesprochen hat, steht in unserer Zeitleiste, ließ sich in den geprüften Quellen aber nicht belegen. Belegt ist: Gasser förderte ihn in Feldkirch, Melanchthon holte ihn in Wittenberg auf die Stelle. Wer es genau braucht, prüft Burmeister (1967–1968).

• Wer ist der Adressat? Der Stadtammann war der oberste Amtsträger der Stadt, vergleichbar mit einem Bürgermeister — der Titel ist im alemannischen Raum üblich. Rheticus schreibt also aus der Ferne an die politische Spitze seiner Heimatstadt. Hinweis: Eine frühere Fassung dieses Leitfadens datierte den Brief auf 1542 n. Chr. — im zitierten Artikel steht kein Jahr. Wer die Datierung braucht, prüft sie bei Burmeister (1967–1968).
• Was wollte er damit? Solche Widmungsbriefe waren die Öffentlichkeitsarbeit der Gelehrten: Man widmete ein Buch einer Obrigkeit und warb im selben Atemzug um Unterstützung — für Schulen, für Stipendien, für die eigene Arbeit. Rheticus argumentiert nicht mit Nutzen, sondern mit Vorbild: Wenn die Angesehenen einer Stadt sich sichtbar für Wissenschaft einsetzen, folgt die Jugend.
• Gegen welche Haltung schreibt er an? Gegen die verbreitete Meinung, Bildung lohne nur, wenn sie unmittelbar Geld bringt. Genau deshalb fordert er von den Führenden, dieser Meinung öffentlich zu widersprechen.
• Warum das persönlich war. Rheticus war selbst ein Kind solcher Förderung: Nach der Hinrichtung seines Vaters 1528 n. Chr. ermöglichten ihm Gönner — allen voran der Feldkircher Stadtarzt Achilles Pirmin Gasser — den Weg an die Universität. Er weiß also aus Erfahrung, woran es hängt.
• Der Zusammenhang im Artikel. Der Stadtarchivar führt den Brief als Beleg dafür an, „wie wichtig den Feldkirchern die Wissenschaft, das Studium war" (Volaucnik 2013, S. 59). Der Brief ist also nicht nur Rheticus' Privatmeinung, sondern Teil einer Stadtkultur, die Studienstiftungen einrichtete.

• Schnabelweid — wörtlich „Weide für den Schnabel", also Gaumenfreude, Leckerbissen. Das Wort lebt im Alemannischen bis heute (der SRF-Dialektsendung „Schnabelweid" hat es den Namen gegeben).
• edles Gevögel — feines Wildgeflügel; gemeint sind die im selben Text genannten Auerhähne und Haselhühner.
• feißt Fleisch — „feistes", also fettes Fleisch. Im 16. Jahrhundert ein Lob: Fett bedeutete Nährwert und Wohlstand, mageres Fleisch war Armeleuteessen.
• Ancken — alemannisches Wort für Butter (in der Schweiz und in Vorarlberg bis heute „Anken"). Gasser schreibt „Ancken oder Butter", weil er seinen auswärtigen Lesern das Dialektwort gleich mitübersetzt — Sprachvermittlung anno 1530.
• wolgeschmackt — wohlschmeckend.

• Hirse war hier Grundnahrungsmittel. Kartoffel und Mais kamen erst später aus Amerika und setzten sich in unseren Breiten erst im 17. und 18. Jahrhundert n. Chr. durch. Davor war Rispenhirse im Alpenraum eines der wichtigsten Getreide: Sie reift in rund 100 Tagen, kommt mit magerem Boden und Trockenheit zurecht, lässt sich als Notfrucht noch nach einem verhagelten Frühjahr anbauen und hält sich trocken gelagert jahrelang. Gegessen wurde sie fast immer als Brei — Mehl zum Backen gibt Hirse nicht her, weil ihr das Klebereiweiß fehlt.
• Brei war Alltag, nicht Armut. Ein Kessel über dem Feuer, Wasser oder Milch, Hirse hinein: Das war die Küche, die für viele Menschen gleichzeitig funktionierte — deshalb taugte sie fürs Fest. Süß mit Most oder Honig, herzhaft mit Speck.
• Der berühmteste Hirsebrei der Region: 1456 n. Chr. brachten Zürcher Bürger einen Kessel heißen Hirsebreis in einem Tag nach Straßburg, um zu beweisen, wie schnell sie im Ernstfall zu Hilfe kämen — die „Zürcher Hirsebreifahrt". Rheticus, der nach 1528 n. Chr. in Zürich zur Schule ging, kannte die Geschichte mit Sicherheit.
• Und die Kesselgröße? Ein genormtes Maß gibt es nicht, die Quelle nennt nur die Zahl 13. Genau deshalb ist das eine schöne Schätzaufgabe für unterwegs: Rechnet man je Kind eine Portion von etwa 0,4 l, so füllt ein Kessel von rund 60 l etwa 150 Portionen — 13 Kessel ergäben also grob 2.000 Portionen. Das ist mehr, als die Stadt Kinder hatte (Feldkirch zählte um 1500 n. Chr. rund 1.500 EW insgesamt). Also war entweder der Kessel deutlich kleiner, oder es aßen alle mit, oder es wurde mehrfach geschöpft. Diese Art zu rechnen — grobe Annahme, Plausibilitätsprüfung, Schlussfolgerung — ist genau das, was die Mathematikdidaktik „Problemlösen“ nennt.

• „Estrich" heißt hier Dachboden. Im alemannischen Sprachraum (Vorarlberg, Schweiz) ist der Estrich nicht der Fußbodenbelag, sondern der Dachraum. Das Estrichfenster ist also die Dachluke ganz oben — und der Teufel holt sich seine Beute traditionell durchs Dach, nicht durch die Haustür.
• Wer ist „Doktor Faust"? Die Figur geht auf einen realen Wanderarzt, Astrologen und Schwarzkünstler des frühen 16. Jahrhunderts zurück, um den sich rasch Legenden rankten: der Gelehrte, dem menschliches Wissen nicht genügt, der einen Pakt mit dem Teufel schließt und am Ende von diesem geholt wird. 1587 erschien die erste gedruckte Faust-Historie, über Christopher Marlowe führt die Linie schließlich zu Goethes Faust. Der Stoff war also im 16. Jahrhundert brandaktuell — eine Erzählschablone, die europaweit auf gelehrte Außenseiter angewandt wurde.
• Warum ausgerechnet Iserin? Er passte perfekt ins Muster: ein studierter Arzt aus der Fremde, der sich mit Astrologie und Wahrsagerei beschäftigte, der süchtig nach Büchern war (in der Anklage taucht auf, er habe alles getan, um an Bücher zu kommen) — und der als angeblicher Hexenmeister hingerichtet wurde. Aus einem Mann, der zu viel wusste und dafür starb, macht die Volkserzählung nach 1528 zwangsläufig einen Teufelsbündner.

Wichtig für die Führung: Das ist lokale Sagenbildung, keine Literaturgeschichte. Goethes Faust stammt nicht aus Feldkirch. Aber die Feldkircher haben ihren hingerichteten Stadtarzt in genau dieses Muster erzählt — und das erlaubt die schönste Volte der ganzen Führung.

Das war nur das Grundhonorar der Stadt dafür, dass überhaupt ein Arzt verfügbar war — die Einnahmen von den Patienten kamen dazu, ebenso die Steuerfreiheit. Versuche, solche Beträge in heutiges Geld umzurechnen, helfen wenig: Umrechnungen „über den Fleischpreis, über den Lohn eines Tagelöhners, über ein Beamtengehalt oder über den Preis eines Hauses führen zu völlig verschiedenen Ergebnissen" (Emmerig 2025, S. 1). Aussagekräftig sind nur Vergleiche mit Preisen und Löhnen aus derselben Zeit und Region.

Um 1500 wurde die Schattenburg wehrtechnisch modernisiert, Rondelle für Kanonen kamen dazu; ein Inventar von 1549 zeigt sie regelrecht waffenstarrend. Kanonen waren damals technische Spitzenleistung — und Ballistik war eine der ersten Anwendungen der neuen Rechenkunst. Die Mathematik, die Rheticus in Tafeln goss, diente auch dem Vermessen und dem Zielen.

Was man daran hübsch aufmachen kann: Rüstungen und Geschütze werden nach ein paar Jahrhunderten zu Museumsstücken, die man mit einer gewissen Romantik betrachtet — den Panzer von heute würde niemand vor die Haustür stellen. Zeit verwandelt Kriegsgerät in Kunsthandwerk. Ähnlich die „Folterkammer": Sie zieht Besucher an, war aber schlicht ein Rechtsinstrument — und zur Erinnerung: Genau diese Justiz hat 1528 Rheticus' Vater „peinlich befragt" und dann hingerichtet.

Nicht moralisieren, nur einmal kurz umdrehen: Aus dem Kriegshandwerk dieser Burg ist Vermessungskunst geworden, aus dem Hexenprozess Wissenschaft. Wir stehen auf der freundlicheren Seite dieser Entwicklung — und das ist keine Selbstverständlichkeit.

Nikolaus Kopernikus hatte sein heliozentrisches Modell schon um 1510 fertig — und ließ es rund dreißig Jahre in der Schublade liegen. Er kannte den Spott, der ihn erwartete, und feilte lieber weiter. Ohne Anstoß von außen wäre das Werk vermutlich Manuskript geblieben.

1539 reist der 25-jährige Wittenberger Professor Rheticus ans andere Ende der bekannten Welt, nach Frauenburg an der Ostsee, und bleibt rund zwei Jahre beim damals 66-jährigen Domherrn. Er wird dessen einziger Schüler — und macht dann etwas Kluges: Statt zu drängen, schreibt er selbst eine Zusammenfassung der Lehre und lässt sie 1540 in Danzig drucken — die Narratio Prima, den „Ersten Bericht". Das ist die erste gedruckte Darstellung des heliozentrischen Weltbilds überhaupt — und zugleich ein Testballon: Der junge Mann riskiert seinen Ruf, nicht der alte Meister.

Die Resonanz ist gut, 1541 erscheint bereits die zweite Auflage. Erst jetzt gibt Kopernikus nach. Rheticus nimmt das Manuskript mit nach Nürnberg und organisiert den Druck bei Johannes Petreius. 1543 erscheint De revolutionibus orbium coelestium — „Über die Umschwünge der himmlischen Kreise", das Buch, das die Erde aus dem Mittelpunkt nimmt. Kopernikus stirbt im selben Jahr; der Überlieferung nach legte man ihm das erste gedruckte Exemplar noch aufs Sterbebett.

Deshalb der Satz „Ohne Rheticus kein Kopernikus": Der Feldkircher hat das Werk nicht geschrieben — aber er hat es aus der Schublade geholt, angekündigt, verteidigt und in die Druckerpresse gebracht. Ein Nachspiel gibt es auch: Rheticus musste die Drucküberwachung abgeben, und der Theologe Andreas Osiander schob dem Buch anonym ein Vorwort voran, das alles zur bloßen Rechenhypothese erklärte — eine Beschwichtigung, über die sich Rheticus maßlos geärgert hat.

Der Titel: Opus Palatinum de triangulis — „Pfälzisches Werk über die Dreiecke", Neustadt an der Haardt 1596, gedruckt bei Matthäus Harnisch. „Pfälzisch" heißt es nach dem Geldgeber: Der Kurfürst von der Pfalz finanzierte den Druck. Auf dem Titel stehen beide Namen: von Georg Joachim Rheticus begonnen, von Valentin Otho vollendet.

Was drinsteht: Das Werk besteht aus sechs Teilen und liefert Tafeln für alle sechs Winkelfunktionen — Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Sekans, Cosekans. Schrittweite: 10 Bogensekunden. Genauigkeit: 10 Dezimalstellen. Die großen Tafeln sind zweifarbig in Rot und Schwarz gedruckt — Rot als Orientierungshilfe, damit man in der Zahlenwüste die Zeile nicht verliert.

Die eigentliche Innovation: Vor Rheticus war Trigonometrie Sehnenrechnung am Kreis — man tabellierte, wie lang die Sehne zu einem Bogen ist. Rheticus definierte die Funktionen konsequent als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck, also genau so, wie wir sie heute in der Schule einführen. Damit wird Trigonometrie vom astronomischen Spezialwerkzeug zu einem allgemeinen Rechenverfahren für jedes Dreieck — für Landvermessung, Navigation, Ballistik, Kartografie.

Ein Detail, das Fachleute freut: Dezimalbrüche waren noch nicht Standard. Statt „0,5000000000" zu schreiben, rechnete man mit einem riesigen Radius (dem sinus totus, etwa 10¹⁰) — dann sind alle Tafelwerte ganze Zahlen. Aus sin 30° = 0,5 wird der Eintrag 5000000000. Man umging die fehlende Dezimalschreibweise, indem man die Einheit groß genug machte.

Der Aufwand: Rund 1.500 Seiten, etwa 100.000 Werte — jeder einzelne von Hand berechnet, über Jahrzehnte, mit bezahlten Rechenknechten und kaiserlicher bzw. kurfürstlicher Finanzierung. Ein „Human-Computing"-Großprojekt, drei Jahrhunderte vor der ersten Rechenmaschine. Die Tafeln blieben bis ins 20. Jahrhundert im Gebrauch. (Nicht verschweigen: Die Tangens- und Sekans-Werte enthielten Fehler in den letzten Stellen; Bartholomäus Pitiscus rechnete sie später nach und veröffentlichte 1613 korrigierte Tafeln.)

Zum Zeigen — das Digitalisat: Die ETH-Bibliothek Zürich hat ein Exemplar vollständig digitalisiert und frei zugänglich gemacht: doi.org/10.3931/e-rara-9112 (e-rara.ch). Ein weiteres Exemplar liegt im Internet Archive. Führungstipp: Eine Tafelseite vorher als Bild aufs Handy laden oder ausdrucken und hier herumreichen — der Anblick von zehnstelligen Zahlenkolonnen in Rot und Schwarz wirkt bei Mathematiklehrpersonen zuverlässig.

Wie ein Telefonbuch für Winkel: Links steht der Winkel, rechts der zugehörige Wert — man schlägt nach, statt zu rechnen. Rheticus’ Tafeln gehen in Schritten von 10 Bogensekunden. Das sind 360 Zeilen pro Grad und damit rund 32.400 Zeilen allein für den Bereich von 0° bis 90°.

Der Trick mit den ganzen Zahlen: Dezimalkommas waren um 1550 noch nicht üblich. Also legte man einen riesigen Radius fest — den sinus totus, bei Rheticus 10¹⁰ — und notierte alle Werte als ganze Zahlen. Ein Tafelausschnitt sieht dann sinngemäß so aus:

Die Zeile für 30° ist die schönste: sin 30° = 0,5 exakt — im Tafelwerk eine glatte 5 mit neun Nullen. Alle anderen Werte mussten über Halbierungs- und Additionsformeln mühsam erarbeitet werden.

Wozu das gut war — zum Mitrechnen: Sie stehen 50 Meter vor einem Turm und messen den Winkel zur Spitze: 32°. In der Tafel steht tan 32° = 0,62487. Also 50 m · 0,62487 ≈ 31,2 m Turmhöhe (plus Augenhöhe) — ohne hinaufzusteigen, ohne Maßband.

Der konzeptionelle Sprung, der Rheticus zugeschrieben wird: Vor ihm tabellierte man Sehnen im Kreis. Er definierte die Funktionen als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck — genau wie heute im Unterricht:

Wofür man das einsetzte — Triangulation: Eine einzige Strecke wird sorgfältig abgemessen (die Basislinie). Alles Weitere wird nur noch anvisiert: Von beiden Enden misst man den Winkel zum Zielpunkt, die Tafel liefert die Entfernungen. So vermisst man Täler, Flüsse und ganze Länder, ohne sie abzuschreiten — die Grundidee jeder Landkarte bis hin zu GPS.